Enunciado

Seja g definida e positiva no intervalo I . Seja p ∈ I . Prove: p será ponto de máximo (ou de mínimo) de h x = g x em I , se, e somente se, p for ponto de máximo (ou de mínimo) de g em I .

Passo 1

Vamos calcular a derivada de h x em relação a x , usando a regra da cadeia:

h ' x = g ' x 2 g x

Note que o denominador é sempre positivo, então h ' x > 0 , se, e somente se, g ' x > 0 .

Analogamente, h ' x < 0 , se, e somente se, g ' x < 0 .

E por último, h ' x = 0 , se, e somente se, g ' x = 0 .

Passo 2

Ou seja, h ' x assume os mesmos sinais e até se anula nos mesmos pontos de g ' x .

Assim, essas funções têm os mesmos pontos críticos, com mesma natureza (de mínimo ou de máximo).

Logo, acabamos de mostrar que p será ponto de máximo (ou de mínimo) de h x = g x em I , se, e somente se, p for ponto de máximo (ou de mínimo) de g em I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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