Seja definida e positiva no intervalo . Seja . Prove: será ponto de máximo (ou de mínimo) de em , se, e somente se, for ponto de máximo (ou de mínimo) de em .
Passo 1
Vamos calcular a derivada de em relação a , usando a regra da cadeia:
Note que o denominador é sempre positivo, então , se, e somente se, .
Analogamente, , se, e somente se, .
E por último, , se, e somente se, .
Passo 2
Ou seja, assume os mesmos sinais e até se anula nos mesmos pontos de .
Assim, essas funções têm os mesmos pontos críticos, com mesma natureza (de mínimo ou de máximo).
Logo, acabamos de mostrar que será ponto de máximo (ou de mínimo) de em , se, e somente se, for ponto de máximo (ou de mínimo) de em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)