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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 10

10) Suponha f continua em [ a ,   b ] . Seja c ,   d → R com g ' contínua em c , d ,     g c = a   e   g ( d ) = b . Suponha , ainda, que g ' u > 0 em ] c , d [ . Seja c = u 0 < u 1 < u 2 , … < u n = d uma partição de [ c ,   d ] e seja a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b partição de [ a ,   b ] , onde x i = g u i , para i variando de 0 a n .

  1. Mostre que, para todo i ,     i = 1 ,   2 ,   . . . ,   n , existe u - i  em   [ u i - 1 ,   u i ] tal que

    2. Δ x i = g '   u - i Δ u i

  2. Conclua de (a) que

    3. ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

    Onde c i = g u - i

  3. Mostre que existe M>0 tal que

    4. Δ x i ≤ M Δ u i

    Para i variando de 0 a n

  4. Conclua que

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Ou seja,

∫ c d f g u g ' u d u = ∫ a b f x d x  

Passo 1

Vamos com calma que essa é grande.

  1. Pelo enunciado, sabemos que :

    2. Δ x i = x i - x i - 1 = g u i - g u i - 1

    Teorema do Valor Médio:

    Dada uma função f contínua e derivável em ] a ,   b [ então existe um ponto c nesse intervalo tal que:

    g b - g a b - a = g ' ( c )

    Agora vamos usar isso até porque tá bem parecido com o que queremos provar:

    g u i - g u i - 1 u i - u i - 1 = g ' u - i ,   onde esse valor   u - i   está no intervalo   ] u i - 1 ,   u i [

    Logo,

    Δ x i Δ u i = g ' u - i →   Δ x i = g ' ( u - i ) Δ u i

    Passo 2

  2. Continuaremos com bastante calma, pois essa questão não é moleza!

    Queremos chegar na seguinte conclusão:

    ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

    Onde c i = g u - i

    Vamos ver a parte da esquerda:

    ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i  

    usando que: c i = g u - i  

    Temos o seguinte:

    ∑ i = 1 n f ( c i ) g '   u - i Δ u i

    Do item a) temos que g '   u - i Δ u i = Δ x i  

    Substituindo:

    ∑ i = 1 n f ( c i ) g '   u - i Δ u i =   ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x i

    Ufa, essa assustou!

  3. Ele quer que a gente mostre que existe um M > 0 pra atender isso aqui ó:

Δ x i ≤ M Δ u i  

para i variando de 0 a n

Do item a) sabemos o seguinte:

Δ x i = g ' ( u - i ) Δ u i

Logo,

g ' u - i Δ u i ≤ M Δ u i → g ' u i ≤ M

Do enunciado, temos que g ' u > 0 → M > 0 😉

Passo 2

Agora vamos terminar!

d)

Queremos concluir isso aí: lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Olhando pro lado esquerdo:

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i

Usando que:

Δ x i = g ' u - i Δ u i   e   c i = g u - i

Temos que:

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Isto é,

∫ c d f g u g ' u d u = ∫ a b f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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