Verifique que.

d/dx[x arctg x - 1/2 ln(1 + x^2)] = arctg x

Passo 1

Vamos calcular d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural, da função constante, do produto e do polinômio:

arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = x arctg ⁡ x ' + - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 '

Vamos resolver a primeira derivada:

x arctg ⁡ x ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' arctg ⁡ x + arctg ⁡ x ' x = x 1 - 1 arctg ⁡ x + 1 1 + x 2 x = x 0 arctg ⁡ x + x 1 + x 2 = 1 arctg ⁡ x + x 1 + x 2 = arctg ⁡ x + x 1 + x 2

Agora a segunda:

- 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = - 1 2 ⋅ 1 1 + x 2 ⋅ 1 + x 2 ' = - 1 2 1 + x 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = - 1 2 1 + x 2 ⋅ 2 x = - x 1 + x 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = x arctg ⁡ x ' + - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = arctg ⁡ x + x 1 + x 2 + - x 1 + x 2 = arctg ⁡ x + x 1 + x 2 - x 1 + x 2 = arctg ⁡ x

Assim:

d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 = arctg ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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