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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8a

Verifique que.

(d)/(d x) [x arctg x - (1)/(2) ln (1 + x^2)] = arctg x

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [x arctg x - (1)/(2) ln (1 + x^2)] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural, da função constante, do produto e do polinômio:

(arctg x)^' = (1)/(1 + x^2)

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(c)^' = 0

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = (x arctg x - (1)/(2) ln (1 + x^2))^' = (x arctg x)^' + (- (1)/(2) ln (1 + x^2))^'

Vamos resolver a primeira derivada:

(x arctg x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' (arctg x) + (arctg x)^' (x) = x^(1 - 1) (arctg x) + (1)/(1 + x^2) (x) = x^0 (arctg x) + (x)/(1 + x^2) = 1 (arctg x) + (x)/(1 + x^2) = arctg x + (x)/(1 + x^2)

Agora a segunda:

(- (1)/(2) ln (1 + x^2))^' = - (1)/(2) * ((1)/(1 + x^2)) * (1 + x^2)^' = - (1)/(2 (1 + x^2)) * (2 x^(2 - 1)) = - (1)/(2 (1 + x^2)) * (2 x) = - (x)/(1 + x^2)

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (x arctg x)^' + (- (1)/(2) ln (1 + x^2))^' = arctg x + (x)/(1 + x^2) + (- (x)/(1 + x^2)) = arctg x + (x)/(1 + x^2) - (x)/(1 + x^2) = arctg x

Assim:

(d)/(d x) [x arctg x - (1)/(2) ln (1 + x^2)] = arctg x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que, para todo x0 , tem-se sen ⁡ xx - x 3 3 ! + x 5 5 ! 0sen ⁡ x - x - x 3 3 !x 5 5 ! (Sugestão: Utilize o item (b) do Exercício 10 e o item (a) acima.)
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