Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 38
Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo?
A questão diz que temos um disco (círculo) com origem no centro e raio e pede para acharmos a média da distância de todos os pontos que estão nessa região (que é o próprio disco) em relação à origem .
A equação que usamos para achar o ponto médio nesses casos é a seguinte;
Portanto, precisamos resolver duas integrais, a do numerador e a do denominador.
Como estamos trabalhando com uma região em disco, dada por , vamos descrever ela através de coordenadas polares.
Para isso precisamos encontrar os intervalos de integração em coordenadas polares pela descrição da nossa região anelar e resolvermos a equação do ponto médio.
Como função a ser integrada, já que o exercício pede a média das distâncias entre pontos, usamos a equação de distância da origem a um ponto :
Vamo lá?
Passo 2
Encontrando os limites de integração em coordenadas polares:
A região é:
Como o enunciado mesmo diz, o disco começa na origem e tem raio , portanto a variação de será:
Para o intervalo de , é só a gente lembrar que para percorrer todo uma circunferência vamos estar saindo de e chegando até o valor máximo do ângulo: .
Agora, só nos falta determinar a função distância em si. A distância de um ponto até a origem é dado pela equação:
Passo 3
Escrevendo também a nossa função em coordenadas polares, sabemos que a equação da circunferência é:
Então ficaremos com:
Também usando a relação:
O seu valor médio será calculado através da seguinte relação:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:
Resolvendo a integral de dentro e aplicando os limites de integração:
Tirando a constante para fora:
Agora resolvendo a integral de fora:
Aplicando os limites e tirando a constante para fora:
Então:
Passo 5
Já a integral do denominador, temos:
Resolvendo a integral de dentro:
Aplicando os limites:
Integrando a de fora:
Aplicando os limites:
Por fim:
Portanto, o valor médio é dado por: