Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 46

Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja

A = ∫ π 4 3 4 π ∫ c o s s e c θ 2   s e n θ r   d r   d θ

Esboce a região e encontre sua área.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo o esboço, temos:

E calculando A em:

A = ∫ π 4 3 4 π ∫ c o s s e c θ 2   s e n θ r   d r   d θ

Passo 2

∫ π 4 3 4 π 1 2 r 2 c o s s e c θ 2   s e n θ d θ

1 2 ∫ π 4 3 4 π 4   s e n 2 θ - c o s s e c 2 θ d θ

Passo 3

Lembrando que s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x e também que cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim: s e n 2 x = 1 - 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 . Logo:

1 2 ∫ π 4 3 4 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 - c o s s e c 2 θ d θ

1 2 2 θ - s e n 2 θ + c o t g θ π 4 3 4 π

π 2

Resposta

π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 x 2 + y 2 d xd y
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d yd x
Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.
Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.A região delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 2 x
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ - a a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 d yd x