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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 34

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:

Temos:

d d x ( ln ⁡ x 2 = d d x ( 2 ln ⁡ x = 2 x

Passo 1

Afirmação falsa. Já que:

d d x ( ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x . 1 x ≠ 2 x

Conseguimos provar isso , diferenciando as duas funções e comparando o resultado.

Primeiro, a derivada:

d d x ( ln ⁡ x 2

Usando a Regra da Cadeia, chamaremos:

f = u 2

u = ln ⁡ x

d d x ( ln ⁡ x 2 = d d u ( u 2 ) . d d x ( ln ⁡ x )

Quando:

d d u u 2 = 2 u

E também:

d d x [ ln ⁡ x ] = 1 x

Então:

d d x ( ln ⁡ x 2 = 2 u x

Substituindo u = ln ⁡ x :

d d x ( ln ⁡ x 2 = 2 ln ⁡ x x

Passo 2

Agora, calculando a outra derivada:

d d x ( 2 ln ⁡ x = 2 d d x ln ⁡ x = 2.1 x = 2 x

Dessa forma, provamos que as derivadas são diferentes.

d d x ( ln ⁡ x 2 ≠ d d x ( 2 ln ⁡ x = 2 x

Resposta

d d x ( ln ⁡ x 2 ≠ d d x ( 2 ln ⁡ x = 2 x

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