Enunciado

63- Seja F (x) = int_4^x sqrt(t^2 + 9) d t . Encontre

a) F ( 4 )

b) F ´ ( 4 )

c) F ´ ´ ( 4 )

Passo 1

a)Queridosss, aqui F ( 4 ) é igual à zero. Why ???

A partir do momento em que o exercício pede F ( 4 ) , nós temos que o extremo de integração vai de quatro a quatro. Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Dessa forma,

F (4) = int_4^4 sqrt(t^2 + 9) d t = f (4) - f ( 4 )

= 0

Sacou ?!

Passo 2

b) Galera, a primeira coisa aqui é nós lembrarmos a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f for contínua em um intervalo, então f terá uma antiderivada nesse intervalo. Em particular, se a for um ponto qualquer desse intervalo, então a função f definida por

F (x) = int_a^x f (t) d t

É uma antiderivada de f nesse intervalo; isto é, F ´ (x) = f ( x ) para cada x desse intervalo, ou em uma notação alternativa

(d)/(d x) [int_a^x f (t) d t] = f ( x )

Dessa forma,

F ´ (x) = sqrt(x^2 + 9)

F ´ (4) = sqrt(4^2 + 9)

F ´ (4) = 5

Fácil, né ?!

Passo 3

c)Derivando F ´ ( x ) , temos:

F ´ ´ (x) = (x)/(sqrt(x^2 + 9))

F ´ ´ (4) = (4)/(sqrt(4^2 + 9))

F ´ ´ (4) = (4)/(5)

Resposta

  1. 0
  2. 5
  3. (4)/(5)
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