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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 16

Seja f (x) = {[[x , s e x < 1],[x^2 , s e 1 <= x <= 9],[27 sqrt(x) , s e x > 9]]) . Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(- 1) ( x ) .

Passo 1

Vamos começar a avaliar trecho a trecho para encontrar a inversa dessa função.

  • Para x < 1 , temos que y = x ;
  • Para 1 <= x <= 9 , temos y = x^2 :. x = sqrt(y) ;
  • Para x > 9 , temos y = 27 sqrt(x) :. x = ((y)/(27))^2 .

O domínio para cada trecho muda também!

  • Quando y = x , y < 1 ;
  • Quando y = x^2 , 1^2 <= y <= 9^2 -> 1 <= y <= 81 ;
  • Quando y = 27 sqrt(x) , y > 27 xx sqrt(9) -> y > 81

Dessa forma, a nossa função inversa g ( x ) será igual a:

g (x) = {[[y , y < 1],[sqrt(y) , 1 <= y <= 81],[((y)/(27))^2 , y > 81]])

Ou, de outra forma:

f^(- 1) (x) = {[[x , x < 1],[sqrt(x) , 1 <= x <= 81],[((x)/(27))^2 , x > 81]])

Pronto, verificação feita!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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