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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 5

Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A   ⊂ R ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existe uma função φ ( x , y ) definida em A tal que, para todo (x,y) em A.

f x , y - P 2 x , y =   φ x , y x , y - x 0 ,   y 0 2

Com

lim ⁡ φ x , y =   φ x 0 , y 0 = 0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

Sabemos que a nossa definição de polinômio pode ser usada como

P x = ∑ f k x 0 k ! x - x 0 k

Achado isso, vamos encontrar a nossa relação.

f x , y = P 2 x , y +   φ x , y x , y - x 0 ,   y 0 2

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P 2 x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 x y + ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 y 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

n k < n k + 1

x , y - x 0 ,   y 0 3 < x , y - x 0 ,   y 0 2

Como temos que

φ x , y = φ ( x 0 , y 0 )

Portanto:

lim ⁡ φ x , y = 0

Resposta

f x , y = P 2 x , y +   φ x , y x , y - x 0 ,   y 0 2

lim ⁡ φ x , y = 0

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Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. c) f x , y = s e n ( 3 x + 4 y ) e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. b) f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e x 0 , y 0 = ( 1,1 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. f x , y = e x + 5 y e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existem uma bola aberta B de centro (x0,y0), com B ∈ A , e um número M0 tais que, para todo x , y ∈ R f x , y - P 2