Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existe uma função φ ( x , y ) definida em A tal que, para todo (x,y) em A. f x , y - P 2 x , y =φ x , y x , y - x 0 ,y 0 2 Com lim ⁡ φ x , y =φ x 0 , y 0 = 0

f x , y = P 2 x , y +φ x , y x , y - x 0 ,y 0 2 lim ⁡ φ x , y = 0

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 5

Seja f(x,y) de classe C³ no aberto e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existe uma função definida em A tal que, para todo (x,y) em A.

Com

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

Sabemos que a nossa definição de polinômio pode ser usada como

Achado isso, vamos encontrar a nossa relação.

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...