(a) Mostre que as equações paramétricas x = a sen(cos(u)), y = b sen(v), z = c cos(u), 0 ≤ u ≤ pi, 0 ≤ v ≤ 2pi , representam um elipsoide.

(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso a = 1, b = 2, c = 3 .

(c) Determine, mas não calcule, a integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).

Passo 1

E aí, meus pipowssss... Tudo belezinha? 😊

Precisamos, no item (a), mostrar que as equações paramétricas abaixo representam um elipsoide:

x = a   s e n   u cos ⁡ u ,     y = b   s e n   u   s e n   v ,     z = c cos ⁡ u ,     0 ≤ u ≤ π   ,     0 ≤ v ≤ 2 π

Já no item (b), iremos representar graficamente a elipsoide do item (a) quando

a = 1 ,     b = 2 ,     c = 3

E no item (c), sem calcular, descobrir a fórmula da área de superfície da parte do elipsoide do gráfico em (b).

Show de bola! =D

Passo 2

(a) Galera, a fórmula para a superfície do elipsoide é dado por

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Se a gente fizer

a s e n   u cos ⁡ v 2 a 2 + b s e n   u   s e n   v 2 b 2 + c 2 c o s 2 u c 2 = 1

s e n 2   u + cos 2 ⁡ u ⏟ 1 = 1

Ou seja, as equações paramétricas satisfazem a equação do elipsoide!

Passo 3

(b) Agora vamos traçar o gráfico do elipsoide. Substituindo

a = 1 ,   b = 2 ,   c = 3

Na fórmula do elipsóide, teremos:

x 2 1 2 + y 2 2 2 + z 2 3 2 = 1

x 2 1 + y 2 4 + z 2 9 = 1

Colocando isso num software top, teremos:

Passo 4

(c) Pessoal, para descobrir a integral dupla para a área de superfície, temos essa fórmula aqui:

A S = ∫ ∫ D r u × r v d A

Utilizando a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 nas equações paramétricas, podemos calcular nosso r :

r : x i + y j + z k

Com o que temos do item (a), teremos:

r : a   s e n   u cos ⁡ u i + b   s e n   u   s e n   v j + c cos ⁡ u k

Substituindo em a ,   b ,   c , podemos fazer as derivadas parciais de r em relação a u e a v :

r u = cos ⁡ u cos ⁡ v i + 2 cos ⁡ u s e n   v   j - 3 s e n   u   k

r v = - s e n   u   s e n   v   i + 2   s e n   u cos ⁡ v   j + 0   k

Então, temos agora nosso produto vetorial dado por

r u × r v = i j k cos ⁡ u cos ⁡ v 2 cos ⁡ u s e n   v - 3 s e n   u - s e n   u   s e n   v 2   s e n   u cos ⁡ v 0

Resolvendo por qualquer método, chegaremos a

r u × r v = 6   s e n 2   u cos ⁡ v i + 3   s e n 2   u   s e n   v   j + 2   s e n   u cos ⁡ u k

Calculando agora o módulo desse produto vetorial, que é a soma de todos os termos ao quadrado dentro de uma raiz, teremos

36   s e n 4   u cos 2 ⁡ v + 9   s e n 4   u   s e n 2   v + 4 cos 2 ⁡ u s e n 2   u

Show! Podemos assim escrever a integral dupla que dá a área da superfície, com os limites de integração dados no enunciado:

0 ≤ u ≤ π   ,     0 ≤ v ≤ 2 π

Assim,

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π r u × r v   d u   d v

∫ 0 2 π ∫ 0 π 36   s e n 4   u cos 2 ⁡ v + 9   s e n 4   u   s e n 2   v + 4 cos 2 ⁡ u s e n 2   u   d u   d v

Resposta

c   A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 36   s e n 4   u cos 2 ⁡ v + 9   s e n 4   u   s e n 2   v + 4 cos 2 ⁡ u s e n 2   u   d u   d v

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