a) Se f for contínua em a , b , mostre que ∫ a bf x d x ≤ ∫ a b |f x | d x b) Use o resultado da parte a) para mostrar que ∫ 0 π 2f x sen ⁡ x d x ≤ ∫ 0 π 2f xd x

Enunciado

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão possui dois itens pra gente responder. No item a) precisaremos mostrar que:

e for contínua em .

Para isso, teremos que analisar a propriedade do modulo da integral.

Já no item b) teremos que usar o resultado da parte a) para mostrar que

Resolvendo o item a)

Aqui queremos analisar a propriedade do modulo da integral.

Como aqui é continua no intervalo e as funções são contínuas no intervalo

Vamos usar a dica, certo? Pois precisamos manipular as propriedades de modulo para conseguirmos provar o que a alternativa nos pede.

Como

Passando a integral em todos os termos,

Perceba que

Ou seja, temos

Vamos usar a propriedade, . Estamos com o lado direito do Daí, pondo pro lado esquerdo,

Vamos resolver o item b), que basicamente iremos aplicar a propriedade

Pelo item a),

Usando que

E, lembrando que temos que

Logo,

a) Veja a demonstração

b) Veja a demonstração