Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) , tal que

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretar geometricamente.

(c) f(x) = x^3 ; a = 0, b = 4 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ 0 , 4 ] , temos que a função f x = x 3 é contínua e derivável, pois f é do tipo polinomial.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = 3 x 2

f ' c = 3 c 2 = b 3 - a 3 b - a

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 0 e b = 4 .

3 c 2 = 4 3 - 0 3 4 - 0

c 2 = 4 3 4 ⋅ 1 3

c 2 = 4 2 3

c = 4 3 = 4 3 3

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = 4 3 3

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