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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 2

Seja f x = x 3 + 2 e x .

  1. Mostre que f   é injetora e confirme que f 0 = 2 .
  2. Encontre f - 1 ' 2 .

Passo 1

Relembrando alguns conceitos: sabemos que uma função é injetora quando se os elementos diferentes do domínio tiver imagens diferentes .

Além disso, se em um determinado intervalo a função for completamente contínua ou descontínua, significa que essa função pode ser chamada de injetora.

A forma de determinar se uma função é ou não injetora é calculando sua derivada. E se:

f ' x > 0

Ou f ' x < 0

Se a função zera em algum ponto, pode não ser injetora.

Passo 2

Agora, calculamos a derivada da função:

f x = x 3 + 2 e x

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 e x > 0

A função cresce no intervalo de ( 0 , + ∞ ) , isso significa que a função é injetora.

Agora calculando a função em x = 1 :

f x = x 3 + 2 e x

f x = 0 3 + 2 e 0 = 2.1 = 2

f 0 = 2

Passo 3

Se a função for diferenciável e injetora,então podemos calcular f - 1 , utilizando a fórmula :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' ( f - 1 x )

Aplicando na fórmula:

( f - 1 ) ' ( 2 ) = 1 3 x 2 + 2 e x = 1 3 . 0 2 + 2 e 0 = 1 2

Resposta

  1. Injetora, f 0 = 2 .
  2. ( f - 1 ) ' ( 2 ) = 1 2
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Encontre a derivada da função dada:f (x) = tg^(- 1) 2^x
Ache a derivada da função f (x) = sec^(- 1) sqrt(x^2 + 1) .
Ache a derivada da função g (x) = sen^(- 1) ( tgh sqrt(x) ) .
Ache a derivada da função f (x) = sec^(- 1) ( cosh x ) .
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita: tan^(- 1) (x + 3 y) = ln y