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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 19

Encontre d y // d x :

y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Passo 1

Considerando a função : y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Precisamos achar (d y)/(d x) .

Se consideraros :

f ( x ) = e^x - e^(- x)

g ( x ) = e^x + e^(- x)

Vamos derivar os termos separadamente:

f^' (x) = e^x + e^(- x)

g^' (x) = e^x - e^(- x)

Como se trata de uma divisão , usaremos a regra do Quociente que diz o seguinte:

(f)/(g) = (f^' (x) g (x) - g^' (x) . f ( x ))/((g (x))^2)

Substituindo as derivadas calculadas na equação :

(f)/(g) = (( e^x + e^(- x) ) ( e^x + e^(- x) ) - ( e^x - e^(- x) ) . ( e^x - e^(- x) ))/((e^x + e^(- x))^2)

Abrindo o cálculo, temos:

(f)/(g) = (e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - e^(- 2 x) + 2 - e^(- 2 x))/((e^x + e^(- x))^2)

Simplificando temos:

((f)/(g)) ' = (4)/((e^x + e^(- x))^2)

Resposta

((f)/(g)) ' = (4)/((e^x + e^(- x))^2)

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