Ache a derivada da função f(x) = sec^(-1)(raiz(x^2 + 1)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função trigonométrica com uma raiz em que a raiz está dentro da trigonométrica. Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sec - 1 ⁡ x ) ' = 1 x x 2 - 1

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sec - 1 ⁡ u ) ' = u ' u u 2 - 1

Passo 2

No nosso exemplo, f x = sec - 1 ⁡ x 2 + 1 ⏟ u , logo u = x 2 + 1 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' x = sec - 1 ⁡ x 2 + 1 ' = x 2 + 1 ' x 2 + 1 x 2 + 1 2 - 1 = x 2 + 1 ' x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) - 1

f ' x = x 2 + 1 ' x 2 + 1 x 2

Passo 3

Agora precisamos da derivada de x 2 + 1 .

Escrevemos x 2 + 1 = x 2 + 1 1 / 2   e utilizamos a derivada ( x n ) ’ = n x n - 1 quando n = 1 / 2 . Porém ainda devemos multiplicar pela derivada de x 2 + 1 , pois o que está dentro da raiz é outra função e deve ser utilizada a regra da cadeia, ficando

[ x 2 + 1 1 2 ] ' = 1 2 x 2 + 1 1 2 - 1 ⋅ x 2 + 1 ' = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 ⋅ ( 2 x )    

Aqui usamos x 2 + 1 ' = 2 x .

[ x 2 + 1 1 / 2 ] ' = 2 x 2 x 2 + 1 - 1 2 = x x 2 + 1 1 2 = x x 2 + 1

Passo 4

Substituindo a derivada x 2 + 1 ' = x x 2 + 1 em f ' x = x 2 + 1 ' x 2 + 1 x 2 , temos

f ' x = x x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 = x x 2 + 1 x 2 + 1 ⋅ x 2 = x ( x 2 + 1 ) ⋅ x 2

Resposta

f ' x = x ( x 2 + 1 ) ⋅ x 2

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