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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 9

Ache a derivada da função f (x) = sec^(- 1) sqrt(x^2 + 1) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função trigonométrica com uma raiz em que a raiz está dentro da trigonométrica. Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada

( sec^(- 1) x ) ' = (1)/(x sqrt(x^2 - 1))

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sec^(- 1) u ) ' = (u ')/(u sqrt(u^2 - 1))

Passo 2

No nosso exemplo, f (x) = sec^(- 1) underset(u)(ubrace (sqrt(x^2 + 1))) , logo u = sqrt(x^2 + 1) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' (x) = (sec^(- 1) sqrt(x^2 + 1)) ' = ((sqrt(x^2 + 1)) ')/(sqrt(x^2 + 1) sqrt((sqrt(x^2 + 1))^2 - 1)) = ((sqrt(x^2 + 1)) ')/(sqrt(x^2 + 1) sqrt(( x^2 + 1 ) - 1))

f ' (x) = ((sqrt(x^2 + 1)) ')/(sqrt(x^2 + 1) sqrt(x^2))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de sqrt(x^2 + 1) .

Escrevemos sqrt(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^(1 // 2) e utilizamos a derivada ( x^n ) ’ = n x^(n - 1) quando n = 1 // 2 . Porém ainda devemos multiplicar pela derivada de x^2 + 1 , pois o que está dentro da raiz é outra função e deve ser utilizada a regra da cadeia, ficando

[ (x^2 + 1)^((1)/(2)) ] ' = (1)/(2) (x^2 + 1)^((1)/(2) - 1) * (x^2 + 1) ' = (1)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2)) * ( 2 x )

Aqui usamos (x^2 + 1) ' = 2 x .

[ (x^2 + 1)^(1 // 2) ] ' = (2 x)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2)) = (x)/((x^2 + 1)^((1)/(2))) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 4

Substituindo a derivada (sqrt(x^2 + 1)) ' = (x)/(sqrt(x^2 + 1)) em f ' (x) = ((sqrt(x^2 + 1)) ')/(sqrt(x^2 + 1) sqrt(x^2)) , temos

f ' (x) = ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))/(sqrt(x^2 + 1) sqrt(x^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 1) sqrt(x^2 + 1) * sqrt(x^2)) = (x)/(( x^2 + 1 ) * sqrt(x^2))

Resposta

f ' (x) = (x)/(( x^2 + 1 ) * sqrt(x^2))

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