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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 5

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = tg^(- 1) 2^x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de tg^(- 1)

(tg^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2)

Vamos fazer

f (x) = g (h (x))

Com

g (x) = tg^(- 1) x

h (x) = 2^x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 + x^2)

Que é a derivada de tg^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(1 + (h (x))^2) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

Vamos lembrar que um número eleavado a x , vai ter a seguinte derivada:

(a^x)^' = a^x . ln a

Então:

h (x) = 2^x -> h^' (x) = 2^x . ln 2

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(1 + (2^x)^2) 2^x . ln 2

f^' (x) = (2^x ln 2)/(1 + 2^(2 x))

Resposta

f^' (x) = (2^x ln 2)/(1 + 2^(2 x))

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