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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 39

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(x^2 + 12) - 4)/(x - 2)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 2 e a função f (x) = (sqrt(x^2 + 12) - 4)/(x - 2) . Então, temos que

f (2) = (sqrt(( 2 )^2 + 12) - 4)/(( 2 ) - 2) = (sqrt(16) - 4)/(0) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de sqrt(x^2 + 12) - 4 é:

sqrt(x^2 + 12) + 4

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> 2)(lim) ((sqrt(x^2 + 12) - 4)/(x - 2)) * ((sqrt(x^2 + 12) + 4)/(sqrt(x^2 + 12) + 4)) = underset(x -> 2)(lim) (( sqrt(x^2 + 12) - 4 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 ))/(( x - 2 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 ))

Agora vamos olhar para o numerador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = sqrt(x^2 + 12) e b = 4 . Então o numerador vai ficar

( sqrt(x^2 + 12) - 4 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 ) = (sqrt(x^2 + 12))^2 - (4)^2 = x^2 + 12 - 16 = x^2 - 4

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas x^2 - 4 = x^2 - 2^2 é um caso de diferença de quadrados com a = x e b = 2 , ou seja:

(sqrt(x^2 + 12) - 4) (sqrt(x^2 + 12) + 4) = x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2)

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> 2)(lim) (( sqrt(x^2 + 12) - 4 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 ))/(( x - 2 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 )) = underset(x -> 2)(lim) (( x + 2 ) ( x - 2 ))/(( x - 2 ) ( sqrt(x^2 + 12) + 4 )) = underset(x -> 2)(lim) (( x + 2 ))/(( sqrt(x^2 + 12) + 4 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> 2)(lim) (( x + 2 ))/(( sqrt(x^2 + 12) + 4 )) = (2 + 2)/((sqrt((2)^2 + 12) + 4)) = (4)/(sqrt(16) + 4) = (4)/(8) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (sqrt(x^2 + 12) - 4)/(x - 2) = (1)/(2)

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40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .b) ϵ = 0,01
39. c) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que 0,001 unidade de L = 0 .
39. a) Encontre o menor número positivo N , tal que, para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , o valor da função f x = 1 x 2 não esteja mais longe do que 0,1 unidade de L = 0 .
39. d) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = x x + 1 não esteja mais longe do que 0,01 unidade de L = 1 .
40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .c) ϵ = 0,001