Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 2 e a função f x = x 2 + 12 - 4 x - 2 . Então, temos que

f 2 = ( 2 ) 2 + 12 - 4 ( 2 ) - 2 = 16 - 4 0 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de x 2 + 12 - 4 é:

x 2 + 12 + 4

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 ⋅ x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4 = lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 12 - 4 ) ( x 2 + 12 + 4 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Agora vamos olhar para o numerador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = x 2 + 12 e b = 4 . Então o numerador vai ficar

( x 2 + 12 - 4 ) ( x 2 + 12 + 4 ) = x 2 + 12 2 - 4 2 = x 2 + 12 - 16 = x 2 - 4

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas x 2 - 4 = x 2 - 2 2 é um caso de diferença de quadrados com a = x e b = 2 , ou seja:

x 2 + 12 - 4 x 2 + 12 + 4 = x 2 - 4 = x + 2 x - 2

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 12 - 4 ) ( x 2 + 12 + 4 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 ) = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 12 + 4 ) = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x 2 + 12 + 4 ) = 2 + 2 2 2 + 12 + 4 = 4 16 + 4 = 4 8 = 1 2

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 = 1 2

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