Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 74
Um carro está viajando a km/h quando seu condutor freia completamente, produzindo uma desaceleração constante de m/s². Qual a distância percorrida antes de o carro parar?
Passo 1
E aí! tudo certinho? 😊
O enunciado nos informa que um carro está viajando a uma velocidade de e freia completamente com uma desaceleração constante de .
Queremos descobrir a distância que o carro percorre antes de parar!
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Temos as seguintes informações:
- Velocidade inicial:
- Desaceleração constante:
- Velocidade final: .
- Posição inicial: .
Como é uma desaceleração, então o sinal é negativo, né?
O carro parou completamente no final, então sua velocidade tem que ser zero.
Usamos a posição inicial como referência.
Precisamos converter os valores para a mesma unidade de medida. Assim, a velocidade inicial pode ser reescrita como:
m/s.
Das aulas de física, sabemos o seguinte:
- A função velocidade é a derivada da função posição :
- A função aceleração é a derivada da função velocidade :
Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que as funções e são as primitivas das funções e , respectivamente.
Vamos utilizar o conceito de primitivas para encontrar a função que descreve a posição do carro e verificar qual a sua posição no tempo final (que também vamos calcular), ou seja, quando ele parou.
Para facilitar o nosso trabalho nos próximos passos, vale lembrar que a Regra da Potência diz que a primitiva de uma potência , é dada por
com uma constante qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primitiva da aceleração dada por:
Podemos usar a Regra da Potência para obter a primitiva de , pois (lembre-se que ).
Assim:
Como sabemos que então conseguimos calcular quem é a constante . Basta avaliar a função no zero:
ou seja,
Logo, a função que dá a velocidade do carro é
Passo 3
Pensa aqui comigo: o carro para quando , certo? Mas sabemos quem é a função , então conseguimos encontar o tempo em que o carro parou. Quer ver como?
rearrumando os termos:
ou seja,
Sabendo o instante de tempo em que o carro parou, só precisamos descobrir a função posição para calcular qual é a posição do carro neste instante.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primitiva da velocidade encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos , temos:
Para descobrirmos quem é , precisamos usar a informação de que a posição inicial do carro é zero, ou seja: .
Assim,
ou seja, E a função posição é:
Estamos quase lá! Falta só descobrirmos a posição do carro no tempo final.
Passo 5
Temos que
e
então:
Fazendo as contas, vamos ter que:
Isso quer dizer que a posição final do carro é aproximadamente , logo, como a posição inicial era zero, a distância percorrida foi de metros.
Resposta
A distância percorrida foi de aproximadamente metros.