Suponha que a função f seja contínua em [a, b] e f'(x) = 1 para todo x em (a, b) . Prove que f(x) = x - a + f(a) para todo x em [a, b] .

Passo 1

Como f é contínua em [ a ,   b ] e, por hipótese, derivável em ( a ,   b ) , pelo teorema do valor médio temos que existe c ∈ ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Por hipótese temos que f ' x = 1 para todo x em ( a ,   b ) , então f ' c = 1 . Assim:

f ' c = 1 = f b - f ( a ) b - a ⇒

f b - f a b - a = 1 ⇒

f b - f a = b - a ⇒

f b = b - a + f ( a )

Passo 3

Fazendo x = b , temos:

f x = x - a + f ( a )

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados