Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 17
Seja . Mostre que não existe um valor de em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
E aí, pessoal!
Nesse problema temos a função
E nosso objetivo é mostrar que não existe um valor dentro do intervalo que satisfaça a equação
E temos que responder tambem porque isso não contradiz o Teorema do Valor Médio (TVM).
Tem ideia de como fazemos isso?
Antes de tudo vamos lembrar o que é o TVM
Então para resolver esse problema vamos derivar a função e substituir na equação dada no enunciado e verificar porque ela não pode ser satisfeita.
Depois vamos comparar nossa função ao TVM e dizer por que ele não é violado.
Saca só!
Passo 2
Derivando a função pela regra da cadeia, temos
Aplicando o ponto
Antes de substituir os valores da equação, vamos encontrar as imagens nos limites do intervalo
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos pegar os resultados que obtemos no passo anterior e substituir na equação
Vamos multiplicar cruzado e isolar em um lado da igualdade
Esse valor não está no intervalo aberto ... então não existe que satisfaça o TVM.
Show?
Passo 4
Por fim temos que responder por que isso que encontramos não contradiz o TVM.
Vamos reescrever a função do enunciado...
O quesito do TVM diz que a função deve ser continua no intervalo ... o que não acontece na nossa função pois no intervalo o valor é um ponto de descontinuidade.
Logo o TVM não é violado.
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
A função não é continua no intervalo .