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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.

6. Equação diferencial: y ' = e - x 2 - 2 x y

Condição inicial: y 2 = 0

Candidata à solução: y = x - 2 . e - x 2

Passo 1

Nesse tipo de problema, galera, o que precisamos fazer é encontrar quanto vale y ' . Ok, mas para que encontrar y ' ? Uma vez encontrado, precisamos substituir seu valor lá na equação diferencial que nos foi dada, que é essa aqui:

  y ' = e - x 2 - 2 x y

Após escrevermos a equação diferencial com y ' substituído, o que devemos fazer é aplicar o ponto (valor inicial) para vermos se realmente bate o resultado! Ficou confuso? Bora começar a resolver pra facilitar descomplicar isso aí!

Para derivarmos y , devemos utilizar a regra do produto:

y ' = u ' . v + u . v '

No qual:

u = x - 2

u ' = 1

v = e - x 2

v ' = e - x 2 . ln ⁡ e . - x 2 ' ⇒ v ' = - 2 x . e - x 2

Aqui vale ressaltar que para descobrirmos v ' utilizamos a regra da derivada de uma função exponencial.

Passo 2

Agora que temos u ' e v ' , basta substiturimos lá na regra do produto, olha só:

y ' = 1 . e - x 2 + x - 2 . ( - 2 x . e - x 2 )

Agora que descobrimos y ' , vamos substituir lá na equação diferencial, olha só:

y ' = e - x 2 - 2 x y

1 . e - x 2 + x - 2 . - 2 x . e - x 2 = e - x 2 - 2 x . x - 2 . e - x 2

∴ - 2 x . x - 2 . e - x 2 = - 2 x . x - 2 . e - x 2

Passo 3

Agora que provamos que y é realmente solução da equação diferencial, podemos testar se ela também é para o valor inicial dado, olha só:

y 2 = 0

y = 2 - 2 . e - 2 2

∴ y = 0

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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