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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-4, mostre que cada função y = f ( x ) é uma solução da equação diferencial que a acompanha.

3. y = 1 x ∫ 1 x e t t d t ,   x 2 y ' + x y = e x

Passo 1

Então pessoal, o que precisamos fazer aqui é derivar a função y = f ( x ) que nos foi dada e depois substituir o valor de y ' que encontrarmos no formato da equação diferencial que também foi cedido pelo enunciado, que é:

x 2 y ' + x y = e x

Não se assustem com aquela integral na função y , vocês verão que ela não nos trará nenhum problema. Utilizando a regra do produto para derivar y , teremos:

y ' = u ' . v + u . v '

No qual:

u = 1 x ,   u ' = - 1 x 2

v = ∫ 1 x e t t d t ,   v ' = e x x

Na derivada de de v vale ressaltar que utilizamos o teorema fundamental do cálculo, ok? Caso você não se lembre muito bem disso, dá uma relembrada lá no capítulo 5 do George, tranquilão?

Passo 2

Agora que temos todos os dados, basta substituirmos lá na nossa y ' , se liga:

y ' = u ' . v + u . v '

∴ y ' = - 1 x 2 . ∫ 1 x e t t d t + 1 x . e x x

Agora que encontramos y ' , basta substituirmos na equação diferencial:

x 2 y ' + x y = e x

x 2 . - 1 x 2 . ∫ 1 x e t t d t + 1 x . e x x + x . 1 x ∫ 1 x e t t d t = e x

- ∫ 1 x e t t d t + e x + ∫ 1 x e t t d t = e x

∴ e x = e x

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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