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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 28

Seja F = ∇ f , onde f x , y = sen ⁡ ( x - 2 y ) . Determine curvas C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.

  1. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0 (b) ∫ C 2 F ⋅ d r = 1

Passo 1

Como sabemos que F = ∇ f , podemos afirmar que F é conservativo e que se em uma curva C parametrizada por r t ,   a ≤ t ≤ b , podemos dizer que

∫ C F ⋅ d r = f r b - f r a

Ou seja, o valor independe do caminho, com essa informação podemos resolver os dois itens.

Passo 2

  1. Para achar um caminho onde

    2. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0

    Precisamos achar qualquer caminho simples que ligue dois pontos A e B que satisfaçam

    f B - f A = 0

    Se determinarmos que

    A = ( x 0 , y 0 )

    B = ( x 1 , y 1 )

    Onde

    sen ⁡ ( x 1 - 2 y 1 ) - sen ⁡ x 0 - 2 y 0 = 0

    Uma das soluções é fazer com que os dois senos sejam 0 , com os seguintes valores: x 1 = π e y 1 = x 0 = y 0 = 0 e temos os pontos

    A = ( 0 , 0 )

    B = ( π , 0 )

    Então qualquer curva simples que tenham esses pontos como inicio e fim, fara a integral ser 0 , pegando a reta, podemos parametrizar C 1 por

    C 1 :   r 1 t = π t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

    Passo 3

  2. Seguindo a mesma lógica, precisamos de um caminho C 2 que vá de um ponto qualquer ( a , b ) até ( c , d ) que satisfaça

f c , d - f a , b = 1

sen ⁡ ( c - 2 d ) - sen ⁡ a - 2 b = 0

Podemos fazer o primeiro seno valer 1 e o segundo 0 , usando os valores c = π / 2 e d = a = b = 0 , então com os pontos

0,0

π 2 , 0

Então qualquer curva simples que tenham esses pontos como inicio e fim, respetivamente, fara a integral ser 1 , pegando a reta, podemos parametrizar C 2 por

C 2 :   r 2 t = π t 2 , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

Resposta

C 1 :   r 1 t = π t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

C 2 :   r 2 t = π t 2 , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

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A figura abaixo mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é contínuo. Determine ∫ C ∇ f ⋅ d r → .
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = e x sen ⁡ y i → + e cos ⁡ y j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = y e x + s e n y i → + e x + x c o sy j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = l n l ny+ y x i → + l n l nx+ x y j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = x y cos ⁡ x y + s e nx y i → + x 2 c o sx y j →