Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 11
Seja parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: para todo ).
a) Verifique que, para todo , onde é a curvatura em .
b) Prove que se , para todo , então é uma reta.
Passo 1
O enunciado fornece uma curva e pede para calcularmos a curvatura da mesma, sabendo que .
Note: devemos calcular ! Mas, se fizermos isto pela fórmula comprida para a curvatura () seguramente teremos muita dificuldade em chegar no resultado!
A dica para este exercício é: Escreva através de uma relação mais simples e, a seguir faça uso do fato de que .
Passo 2
Indo nas nossas notas de aula, nossa cola pra prova, ou o que for, seguramente encontraremos a curvatura escrita deste jeito (em função do vetor tangente):
Esta é justamente a fórmula que precisamos! De fato, voltando para as nossas notas de aula, encontraremos uma expressão para o próprio vetor tangente:
Mas perai! Não tínhamos ? Perfeito! Acabamos de deduzir que . Apenas substituindo este resultado na equação para já obteremos a prova do crime:
Passo 3
Agora, imaginemos que a gente tenha . O que significa isto? Bem, lembrando que a curvatura se relaciona com o raio de curvatura pela fórmula temos que, neste caso, o raio de curvatura seria infinito.
Mas o que quer dizer um raio de curvatura infinito? Significa que não possui nenhuma curva!
Você já ouviu falar a famosa frase “uma reta é a arco de um círculo de raio infinito”? Pois bem, no espaço tridimensional é a mesma lógica! Se uma curva não possui curvatura, ela segue reto toda vida só pode!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)