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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 15a

15. Seja z = f x , y ,   x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x   ∂ y e ∂ f ∂ y   ∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro x 0 , y 0 e contida em A . Sejam h e k tais que x 0 + h , y 0 + k ) pertença a B. Seja, ainda,

H h , k = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0 .

a) Considere as funções φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0 e ρ s = f x 0 + h ,   s - f x 0 , s .

Mostre que

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 = ρ y 0 + k - ρ y 0 .

Passo 1

Ele nos pede para provar isso aqui:

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 = ρ y 0 + k - ρ y 0

Inicialmente, sabemos o seguinte:

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Então vamos calcular o φ x 0 + h . Substituindo t = x 0 + h   em φ t :

φ x 0 + h = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0     ( i )

Agora vamos calcular o φ ( x 0 ) . Fazendo t = x 0 em φ t :

φ x 0 = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0     ( i i )

Passo 2

Como queremos provar que H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 , vamos fazer ( i ) - ( i i ) . Assim,

φ x 0 + h - φ x 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Isto é,

φ x 0 + h - φ x 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k + f x 0 , y 0

Portanto,

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0

Passo 3

Agora vamos provar que H h , k = ρ y 0 + k - ρ y 0 . O enunciado nos disse o seguinte:

ρ s = f x 0 + h ,   s - f x 0 , s

Então vamos calcular ρ y 0 + k . Trocando s por y 0 + k :

ρ y 0 + k = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k

Pra finalizar, vamos calcular ρ y 0 . Trocando s por y 0 :

ρ y 0 = f x 0 + h ,   y 0 - f x 0 , y 0

Agora é só fazer ρ y 0 + k - ρ y 0 . Olha só:

ρ y 0 + k - ρ y 0 = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h ,   y 0 - f x 0 , y 0

Assim,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k + f x 0 , y 0

Portanto,

H h , k = ρ y 0 + k - ρ y 0

Juntando o Passo 2 e 3:

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 = ρ y 0 + k - ρ y 0 .

Provamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.c) z
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Encontrar: ∂ 2 f → ∂ x ² ,∂ 2 f → ∂ y ² ,∂ 2 f → ∂ x ∂ y ,∂ 3 f → ∂ x ² ∂ ye∂ 3 f → ∂ z ³ ² ² ² ³Das seguintes funções:c) f → x ,y ,z = 1 x , 1 y 2 ,x y z
Encontrar ∂ 2 f → ∂ x 2 P 0 + ∂ 2 f → ∂ y 2 P 0 - 4 ∂ 2 f → ∂ z 2 P 0 . Dados: f → x ,y ,z = x + y + z ,x + y + z 2 ,x + y + z 3eP 0 1 ,0 ,1