15. Seja com aberto. Suponha que e estão definidas em e que e são contínuas em A. Seja um ponto qualquer de ; seja B uma bola aberta de centro e contida em . Sejam e tais que pertença a B. Seja, ainda,
a) Considere as funções e
Mostre que
Passo 1
Ele nos pede para provar isso aqui:
Inicialmente, sabemos o seguinte:
Então vamos calcular o . Substituindo em
Agora vamos calcular o . Fazendo em :
Passo 2
Como queremos provar que , vamos fazer - . Assim,
Isto é,
Portanto,
Passo 3
Agora vamos provar que O enunciado nos disse o seguinte:
Então vamos calcular . Trocando por :
Pra finalizar, vamos calcular . Trocando por
Agora é só fazer . Olha só:
Assim,
Portanto,
Juntando o Passo 2 e 3:
Provamos!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ª ordem contínuas e satisfaz a equação(∂²f / ∂x²) + (∂²f / ∂y²) = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.c) z = y^
Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ª ordem contínuas e satisfaz a equação\frac{∂^2 f}{∂ x^2} + \frac{∂^2 f}{∂ y^2} = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harm
Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.d) z
Encontrar:∂²f/∂x², ∂²f/∂y², ∂²f/∂x∂y, ∂³f/∂x²∂y, e ∂³f/∂z³ ² ² ² ³Das seguintes funções:c) f(x, y, z) = (1/x, 1/y^2, xyz)
Encontrar ∂²f→ / ∂x²(P₀) + ∂²f→ / ∂y²(P₀) - 4 * ∂²f→ / ∂z²(P₀) . Dados:f(x, y, z) = (x + y + z, (x + y + z)^2, (x + y + z)^3) e P_0(1, 0, 1)