15. Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A, com A aberto. Suponha que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y estão definidas em A e que ∂²f / ∂x ∂y e ∂f / ∂y ∂x são contínuas em A. Seja (x0, y0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x₀, y₀) e contida em A . Sejam h e k tais que x₀ + h, y₀ + k pertença a B. Seja, ainda,

H(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0 + k) - f(x0 + h, y0) + f(x0, y0)

a) Considere as funções φ(t) = f(t, y0 + k) - f(t, y0) e ρ(s) = f(x0 + h, s) - f(x0, s)

Mostre que

H(h, k) = φ(x₀ + h) - φ(x₀) = ρ(y₀ + k) - ρ(y₀)

Passo 1

Ele nos pede para provar isso aqui:

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 = ρ y 0 + k - ρ y 0

Inicialmente, sabemos o seguinte:

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Então vamos calcular o φ x 0 + h . Substituindo t = x 0 + h   em φ t :

φ x 0 + h = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0     ( i )

Agora vamos calcular o φ ( x 0 ) . Fazendo t = x 0 em φ t :

φ x 0 = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0     ( i i )

Passo 2

Como queremos provar que H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 , vamos fazer ( i ) - ( i i ) . Assim,

φ x 0 + h - φ x 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Isto é,

φ x 0 + h - φ x 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k + f x 0 , y 0

Portanto,

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0

Passo 3

Agora vamos provar que H h , k = ρ y 0 + k - ρ y 0 . O enunciado nos disse o seguinte:

ρ s = f x 0 + h ,   s - f x 0 , s

Então vamos calcular ρ y 0 + k . Trocando s por y 0 + k :

ρ y 0 + k = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k

Pra finalizar, vamos calcular ρ y 0 . Trocando s por y 0 :

ρ y 0 = f x 0 + h ,   y 0 - f x 0 , y 0

Agora é só fazer ρ y 0 + k - ρ y 0 . Olha só:

ρ y 0 + k - ρ y 0 = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h ,   y 0 - f x 0 , y 0

Assim,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0   - f x 0 , y 0 + k + f x 0 , y 0

Portanto,

H h , k = ρ y 0 + k - ρ y 0

Juntando o Passo 2 e 3:

H h , k = φ x 0 + h - φ x 0 = ρ y 0 + k - ρ y 0 .

Provamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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