Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9c
Seja uma curva derivável até a 2ª ordem, com no intervalo . Seja , com fixo em . Sejam, ainda, o versor de e dada por , onde . Mostre que
Passo 1
O enunciado fornece uma expressão para o versor (que nada mais é que um vetor que é função do ) e pede para acharmos o módulo da derivada de em relação a , comparando com o valor dado.
Este problema não tem segredo! Basta aplicar o que já sabemos de derivada com muita calma nessa hora e uma dessas o resultado sairá!
Note que podemos economizar um esforço danado se aproveitarmos os resultados do item anterior!
Passo 2
De fato, o enunciado envolve uma quantidade já obtida por nós num item anterior, que é:
Com este resultado no bolso, devemos agora realizar o produto escalar de por ele mesmo e tirar a raiz quadrada.
Se você tem dúvida de como realizar o produto escalar, deixe-me te explicar rapidão: o produto escalar é uma operação que atua entre dois vetores, digamos, e , produzindo um número. Se houver algum número multiplicando algum dos vetores, esse número pode sair direto do produto escalar: , tá ok?
Agora, para simplificar as coisas, vamos identificar na equação para o que que é vetor e o que que é número:
-Vetores: e
-Números: e
Agora, podemos realizar o produto escalar com mais confiança!
Tirando os números pra fora:
Agora, realizamos o produto escalar como se fosse um produto normal mesmo:
Tirando os números para fora e notando que , simplificamos para
Cortando o :
Depois de ter suado frio todo esse tempão, finalmente tiramos a raiz:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)