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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9c

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u ,     t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t → s dada por t → s = T → t , onde t = t s . Mostre que

d t → s d s = d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 3 γ ' ' t 2 γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t 2

Passo 1

O enunciado fornece uma expressão para o versor T → t = t → s (que nada mais é que um vetor que é função do γ ) e pede para acharmos o módulo da derivada de t em relação a s , comparando com o valor dado.

Este problema não tem segredo! Basta aplicar o que já sabemos de derivada com muita calma nessa hora e uma dessas o resultado sairá!

Note que podemos economizar um esforço danado se aproveitarmos os resultados do item anterior!

Passo 2

De fato, o enunciado envolve uma quantidade já obtida por nós num item anterior, que é:

d t → s d s = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 4

Com este resultado no bolso, devemos agora realizar o produto escalar de d t → s d s por ele mesmo e tirar a raiz quadrada.

Se você tem dúvida de como realizar o produto escalar, deixe-me te explicar rapidão: o produto escalar é uma operação que atua entre dois vetores, digamos, a → e b → , produzindo um número. Se houver algum número n multiplicando algum dos vetores, esse número pode sair direto do produto escalar: n a → ∙ b → = n a → ∙ b → , tá ok?

Agora, para simplificar as coisas, vamos identificar na equação para d t → s d s o que que é vetor e o que que é número:

-Vetores:   γ ' ' t e γ ' t

-Números: γ ' t e γ ' ' t ∙ γ ' t

Agora, podemos realizar o produto escalar com mais confiança!

d t → s d s ∙ d t → s d s = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 4 ∙ γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 4

Tirando os números pra fora:

d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 8 γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t 1 ∙ γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t 1

Agora, realizamos o produto escalar como se fosse um produto normal mesmo:

d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 8 γ ' ' t γ ' t 2 ∙ γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t γ ' t 2 ∙ γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t ∙ γ ' ' t γ ' t 2 + γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t ∙ γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t

Tirando os números para fora e notando que γ ' ' t ∙ γ ' ' t = γ ' ' t 2 , simplificamos para

d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 8 γ ' ' t 2 γ ' t 4 - γ ' t 2 ∙ γ ' ' t ∙ γ ' t 2 + γ ' ' t ∙ γ ' t 2 γ ' t 2

Cortando o γ ' t 2 :

d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 6 γ ' ' t 2 γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t 2

Depois de ter suado frio todo esse tempão, finalmente tiramos a raiz:

d t → s d s ∙ d t → s d s = 1 γ ' t 3 γ ' ' t 2 γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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