Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 38

38- A superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ a tem densidade constante k . Determine a ) o centro de massa e b ) o momento de inércia em torno do eixo z .

Passo 1

Para calcular o centro de massa primeiramente precisamos calcular a massa dessa superfície e que será igual a:

m = ∫ ∫ S ρ x , y , z d S

Onde a densidade ( ρ ) é a constante k e d S será a parametrização abaixo:

S = r x , y = x   i + y   j + x 2 + y 2 k

Fazendo os vetores tangentes de r temos:

r x = 1 i + 0 j + x x 2 + y 2 k

r y = 0 i + 1 j + y x 2 + y 2 k

Agora fazendo a multiplicação vetorial dos dois vetores temos:

r x × r y = i j k 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2

r x × r y = 0 - x x 2 + y 2 i + 0 - y x 2 + y 2 j + ( 1 - 0 ) k

Agora aplicando o módulo desse vetor temos:

r x × r y = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = 2

O que nos deixa a integral da seguinte forma:

m = ρ A

m = ∫ ∫ D 2 k   d A

A área elementar que preenche todo o corpo é um círculo fechado cujos parâmetros polares possui um raio que vai de 0 até a e θ de 0 até 2 π , então:

m = ∫ 0 a ∫ 0 2 π 2 r k   d θ   d r

Então a massa valerá:

m = 2 2 π k r 2 2 0 a = 2 π k a 2

Passo 2

Agora vamos calcular os momentos em todos os planos da seguinte forma:

M x y = ∫ 0 a ∫ 0 2 π z   2   r k   d θ   d r

Onde z em coordenadas polares vale:

x 2 + y 2 = z 2 → r 2 = z 2 → z = r

M x y = ∫ 0 a ∫ 0 2 π r 2   r k   d θ   d r

M x y = r 3 3 0 a 2 π 2 k = 2 a 3 3 π k 2

Isso nos dá o valor de z - que será:

z - = M x y m = 2 a 3 3 π k 2 2 π k a 2 = 2 3 a

Agora o momento em M x z será:

M x z = ∫ 0 a ∫ 0 2 π y   2   r k   d θ   d r = ∫ 0 a ∫ 0 2 π r sin ⁡ θ 2   r k   d θ   d r

Isso dá:

2   k r 3 3 0 a - cos ⁡ θ 0 2 π = a 3 3 2 k - 1 + 1 = 0

Dessa forma:

y - = M x z m = 0

E M y z será:

M y z = ∫ 0 a ∫ 0 2 π x   2   r k   d θ   d r = ∫ 0 a ∫ 0 2 π r c o s   θ 2   r k   d θ   d r

Resolvendo:

M y z = 2 k   r 3 3 0 a sin ⁡ θ 0 2 π = 2 k a 3 3 0 - 0 = 0

Então:

x - = M y z m = 0

Então o ponto de centro será:

x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 3  

Passo 3

Agora a inércia no eixo z será igual a:

I z = m z 2 = ∫ 0 a ∫ 0 2 π z 2   2   r k   d θ   d r   = ∫ 0 a ∫ 0 2 π r 2   2   r k   d θ   d r  

Logo:

2 k r 4 4 0 a θ 0 2 π = k 2 a 4 4 × 2 π = π k a 4 2 2

Resposta

a)

x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 3

b)

I z = π k a 4 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 4x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 . Calcular a massa da lâmina se a densidade no ponto x , y , z é proporcional à distância desse ponto ao eixo z
Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16 , que esta abaixo do plano z = 2 e acima do plano xy supondo a densidade constante
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = 2 y + 1 recortada pelo cilindro x 2 + y - 2 2 = 4. Determine a massa dessa lamina se a densidade no ponto ( x,y,z) é proporcional à distancia desse ponto a
Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 3x 2 + y 2 limitado z = 0ez = 3 . Determine o momento de inercia da lâmina ao eixo z se a densidade é fx , y , z= 1
Uma superfície S é representada pela equação vetorial r →u , v= 4 cos ⁡ u ,4 s e nu,4 v 0 ≤ u ≤ 2 π 0 ≤ v ≤ 2 Determinar a equação cartesiana de SDesenhar sobre a superfície S as curvas coordenadas ob