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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3b

3. Expresse d z d t em termos das derivadas parciais, sendo z = f x , y e

b) x = sen ⁡ 3 t e y = cos ⁡ 2 t

Passo 1

Opaaa... beleza??

Nessa questão vamos precisar lembrar que as derivadas parciais são:

d z d t = d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f x , y ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Passo 2

Primeiro para a derivada parcial de x :

x = sen ⁡ 3 t

∂ x ∂ t = 3 cos ⁡ 3 t

E para y :

y = cos ⁡ 2 t

∂ y ∂ t = - 2 sen ⁡ 2 t

Passo 3

Agora a gente jogar na fórmula lá:

d z d t = ∂ f x , y ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f x , y ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

d z d t = ∂ f x , y ∂ x ⋅ 3 cos ⁡ 3 t + ∂ f x , y ∂ y ⋅ - 2 sen ⁡ 2 t

d z d t = 3 cos ⁡ 3 t ∂ f x , y ∂ x - 2 sen ⁡ 2 t ∂ f x , y ∂ y

Ahhh... como a gente não tem definido como é realmente a função f x , y a gente deixa representado por ∂ f x , y ∂ x e ∂ f x , y ∂ y .

Resposta

d z d t = 3 cos ⁡ 3 t ∂ f x , y ∂ x - 2 sen ⁡ 2 t ∂ f x , y ∂ y

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