Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 40
- Seja um ponto não pertenente ao plano que passa pelos pontos , e . Mostre que a distancia do ponto ao plano é
Onde , e .
- Utilize a fórmula da parte do exercício para determinar a distância do ponto ao plano definido pelos pontos , e .
Onde , e .
Passo 1
Primeiramente, vamos tentar desenhar tudo isso aí que a questão falou pra gente:
Repare que pela nossa figura, podemos dizer que a distancia entre o ponto e o plano é dada por
E, se você reparar, temos um triângulo retângulo ali na nossa figura e dele podemos tirar que
Tudo certo até aqui?
Show!
Passo 2
Acontece que a fórmula onde queremos chegar é essa aqui
Que é uma parada que envolve produto misto.
E o que temos até agora é uma parada que envolve cosseno.
Então vamos lembrar da definição de produto misto:
Isolando o cosseno:
Passo 3
Agora igualando as duas fórmulas que temos:
E chagamos na fórmula que a gente queria
Passo 4
Para determinar a distância do ponto ao plano definido pelos pontos , e , vamos definir:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Substituindo tudo na fórmula da letra :