Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q, R e calcule a área do trângulo PQR .

P(2,1, 5)

Q(-1,3,4)

R(3,0, 6)

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = - 1,3 , 4 - 2,1 , 5 = ( - 3,2 , - 1 )

P R → = 3,0 , 6 - 2,1 , 5 = ( 1 , - 1,1 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 2 - 1 - 1 1 i - - 3 - 1 1 1 j + - 3 2 1 - 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 2.1 - - 1 . ( - 1 ) i - ( - 3 . 1 - ( - 1 ) . 1 ) j + - 3 . ( - 1 ) - 2 . 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 1   i + 2   j + 1   k

P Q → × P R → = ( 1,2 , 1 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor multiplor desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( 1,2 , 1 ) = 1 2 1 2 + 2 2 + 1 2 = 1 2 1 + 4 + 1

A = 1 2 6

Resposta

( 1,2 , 1 )

A = 6 2

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