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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 26

Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,   Q ,   R e calcule a área do trângulo P Q R .

P 2,1 , 5

Q - 1,3 , 4

R 3,0 , 6

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = - 1,3 , 4 - 2,1 , 5 = ( - 3,2 , - 1 )

P R → = 3,0 , 6 - 2,1 , 5 = ( 1 , - 1,1 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 2 - 1 - 1 1 i - - 3 - 1 1 1 j + - 3 2 1 - 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 2.1 - - 1 . ( - 1 ) i - ( - 3 . 1 - ( - 1 ) . 1 ) j + - 3 . ( - 1 ) - 2 . 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 3 2 - 1 1 - 1 1 = 1   i + 2   j + 1   k

P Q → × P R → = ( 1,2 , 1 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor multiplor desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( 1,2 , 1 ) = 1 2 1 2 + 2 2 + 1 2 = 1 2 1 + 4 + 1

A = 1 2 6

Resposta

( 1,2 , 1 )

A = 6 2

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Prove que:(a) u → ∧ v → , a → ∧ b → , x → ∧ y → = [ u → , a → , b → ] [ u → , x → , y → ] [ v → ,a → , b → ] [ v → , x → , y → ]
Seja E uma base ortonormal positiva.(b) Sejam u → ,v → ,w → ,x → ,y →ez → vetores quaisquer. Mostre que u → ,v → ,w → x → ,y → ,z → = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → .
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(a) Mostre que u → ,v → , w → é base e determine sua orientação.
Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (b) E é LD⇔ F é LD;