Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 42
Seja e seja um vetor com comprimento com início na origem e que gira no plano . Determine o máximo e o mínimo valor possível para . Qual a direção e o sentido de ?
Passo 1
Sabemos que
E que nesse intervalo,
Assim, o máximo valor para esse produto vetorial é quando
E o menor valor possível é quando
Vamos analisar cada um desses casos.
Passo 2
Para o caso de
Temos
E
Isso significa que os dois vetores são perpendiculares, ou seja, se o vetor o vetor será .
Passo 3
Para o caso de
Temos
E
ou
Isso significa que os dois vetores são paralelos, ou seja, se o vetor o vetor será , quando , e depois , quando .
Passo 4
Beleza, mas a gente ainda tem que pensar na direção e sentido do vetor . Para isso, vamos pensar na regra da mão direita.
e são vetores que estão no mesmo plano, o plano , sendo que gira, e é o ângulo entre eles.
Sabemos que o vetor é simultaneamente perpendicular a ambos os vetores, por isso vamos usar a regra da mão direita.
Agora vamos pensar, com nossa mão direita a postos!
Quando aponta na mesma direção que , temos que e . A medida que gira no sentido anti-horário no plano , o vetor aponta para o sentido negativo do eixo e seu módulo vai crescendo de zero até , quando e, nesse caso, e são perpendiculares e , já que os vetores começaram paralelos bem em cima do eixo positivo.
A medida que continua rodando no sentido anti-horario, continua apontando no sentido negativo do eixo , até que e o módulo de .
Depois disso, a direção de passa a apontar para a parte positiva do eixo e começa a aumentar de novo, até atingir quando e .
E, pra fechar a volta completa, o vetor continua girando até se encontrar novamente com o vetor no eixo positivo, ou seja, , e .
Resposta
Máximo:
Mínimo: