Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 23
Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: e
Passo 1
Alô, galera! Como estão?
Escrevendo o termo geral na forma:
O termo faz com que os termos da série oscilem de sinal, vão variando entre positivos e negativos, ou seja, estamos diante da uma Série Alternada. Para achar a convergência desse tipo de série temos o Teste da Série Alternada:
Relembrando esse teste: se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo
Então a série é convergente.
Já para encontramos o erro de séries alternadas e convergentes, usamos o Teorema do Erro de Series Alternadas e sua expressão é:
Passo 2
Para nós nessa questão:
Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente. Isso é fácil de observar já com nosso numerador se mantém o mesmo, mas nosso denominador cresce cada vez mais rápido, deixando o valor de cada vez menor. Como é decrescente, é verdade que:
Critério (i) provado.
Passo 3
Bora ver o segundo item então...
Como vimos no passo anterior, quando nosso denominador aumenta cada vez mais, tornando o resultado da divisão cada vez menor e mais próximo de 0. Portanto:
Como a série cumpre os requisitos (i) e (ii) do Teste da Série Alternada, ela converge.
Passo 4
Para estimar o erro, fazemos:
Pro nosso caso, vamos ter:
Vamos calculando os termos de até acharmos um que satisfaça nossa inequação acima:
Para
Para
Para
Vamos pular para nosso valor procurado para agilizarmos aqui, pois acho que deu para entender a lógica do processo:
Para
Voltando para o que queremos:
Como queremos que o erro seja menor que o termo, e é maior que o erro, temos que pegar o termo anterior .
Nosso é . Para que o erro seja menor que devemos somar então os 5 primeiros termos da série.
Resposta
Aproximando usando os cinco primeiros termos.