Enunciado

Seja f x = 3 64 x 16 - x 2 para 0 ≤ x ≤ 4 e f x = 0 para todos os outros valores de x .

  1. Verifique que f é uma função densidade de probabilidade.
  2. Calcule P ( X < 2 ) .

Passo 1

  1. No geral, nós devemos satisfazer as duas condições que são mencionadas antes do Exemplo 1:
    1. f x ≥ 0 para todo x ;
    2. ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 .

    Para 0 ≤ x ≤ 4 , nós temos que f x = 3 64 x 16 - x 2 ≥ 0 , então f x ≥ 0 para todo x . Além disso, ∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ 0 4 3 64 x 16 - x 2 d x = - 3 128 ∫ 0 4 16 - x 2 1 2 - 2 x d x =

    - 3 128 2 3 16 - x 2 3 2 0 4 = - 1 64 16 - x 2 3 2 0 4 = - 1 64 0 - 64 = 1

    Então, f é uma função densidade de probabilidade.

    Passo 2

  2. P X < 2 = ∫ - ∞ 2 f x d x = ∫ 0 2 3 64 x 16 - x 2 d x = - 3 128 ∫ 0 2 16 - x 2 1 2 - 2 x d x =

- 3 128 2 3 16 - x 2 3 2 0 2 = - 1 64 12 3 2 - 16 3 2 = 1 64 64 - 12 12 = 1 64 64 - 24 3

= 1 - 3 8 3 ≈ 0.350481

Resposta

  1. f é uma função densidade de probabilidade
  2. 0.350481
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