Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 49
- Se o símbolo denota a função maior inteiro do Exemplo 10, calcule
-
-
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- Se for um inteiro, calcule
-
-
- Para quais valores de o existe
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Pronto para aprender mais um pouco hoje? Vamos juntos resolver essa atividade.
Aqui a gente vai calcular o limite de algumas funções maior inteio. Primeiro irei te explicar o que é a a função maior inteiro.
A função maior inteiro é definida por maior inteiro que é menor que ou igual a .
Exemplos para que você entender melhor:
É a partir dessa função que iremos resolver essa atividade. Deveremos analisarmos qual o maior inteiro e após isso iremos calcular o limite.
Passo 2
- (i) Vamos calcular
- Vamos calcular
- Para calcular o limite
- (i) Para calcular
- Os valores de para que o limite
Cada passo da função maior inteiro começa em um ponto preenchido em um valor inteiro de e vai horizontalmente para a direita, terminando logo antes do próximo inteiro. Ao se aproximar de pelo lado direito, por valores infinitasialemnte maior que , ela se aproxima do inteiro , assim o valor desse limite é
Para isso deveremos calcular o limite lateral
Caso seja igual ao encontrado no passo (i), o limite existe, caso seja diferente, o limite não existe.
Ao se aproximar de pelo lado direito, ela se aproxima do inteiro , mas, pelo lado esquerdo, se aproxima de . Ambos os lados não são iguais, portanto o limite não existe.
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite
não existe
Devemos analisar os limites laterais. Mas veja que está no meio da reta que está no nível . De ambos os lados, a função se aproxima do mesmo ponto, portanto o maior inteiro que é menor que ou igual a é .
Passo 3
Para calcular o limite , onde é um número inteiro, você está basicamente procurando o valor da função parte inteira imediatamente antes de alcançar o número inteiro .
Quando você se aproxima de pelo lado esquerdo se aproximando de de valores menores que , a função parte inteira vai ser igual ao maior inteiro menor que , já que é definido como o maior inteiro que não é maior que .
Portanto, o valor do limite é simplesmente , porque este é o valor imediatamente antes de alcançar o inteiro , e a função parte inteira arredonda para baixo para o inteiro mais próximo, que seria nesse caso.
(ii)
Para calcular o limite de , onde é um inteiro e representa a função parte inteira de (ou seja, o maior inteiro que não é maior que ), você deve considerar o comportamento da função parte inteira à direita de .
Quando se aproxima de pelo lado direito , é um pouco maior que , mas ainda não alcançou o próximo inteiro maior que . A função parte inteira de , , será então igual a , pois a parte inteira de qualquer número entre e (não incluindo ) é .
Portanto, o limite é:
Exista, são números não inteiros. Pois veja, pela descoberta que fizemos na letra b), quando
E
E como precisamos que os limites laterais sejam iguais para que o limite exista, como eles não são, então a não pode ser um numero inteiro.
Resposta
- (i)
- (i)
- existe não for inteiro
(ii) não existe
(iii)
(ii)