Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.5 - Ex. 4
Seja se e se .
- Verifique que é uma função densidade de probabilidade.
- Calcule .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que a função , se e , se , é uma função densidade de probabilidade. E depois calcular a probabilidade .
Em geral, a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória satisfaz para todo . Além disso, como as probabilidades são medidas em uma escala de até , segue que:
Então, o que precisamos fazer é provar que é maior ou igual a zero para todo e verificar se a integral da função de a vai dar . Depois, calculamos a probabilidade no intervalo , usando a fórmula:
Vamos lá!
Passo 2
A questão já nos diz que se e se , isso significa que ela vai ser sempre maior ou igual a zero para todo , ou seja:
Agora vamos verificar a segunda condição, calculando a integral:
Substituindo e a condição (que representa o intervalo ), temos:
Isso nos dá uma integral imprópria, que pode ser escrita na forma do limite:
Integrando, temos:
Aplicando o intervalo de integração:
Assim, quando vai para infinito, temos que e vão pra zero. Então, só nos sobra:
Logo, e, portanto, é uma função densidade de probabilidade.
Passo 3
Agora calculando a probabilidade usando a fórmula:
Temos:
Integrando:
Aplicando os limites de integração:
E obtemos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
- é uma função densidade de probabilidade