Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 95

Determine a tangente à curva em

Coeficiente angulares de uma curva tangente: Qual o menor valor de coeficiente angular que a curva pode ter no intervalo ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

Em que são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu , falta descobrirmos , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento nada mais é que:

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada . Substituindo na equação da nossa curva, temos:

Logo, .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular . Para isto, derivaremos a nossa curva.

Passo 4

Vamos substituir o valor na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

Logo, .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

Passo 6

O coeficiente angular vai possuir menor valor quando a função possuir um ponto de mínimo. Quando , a nossa função possuirá um ponto de mínimo, pois:

A função secante ao quadrado possuirá mínimo quando a função cosseno for máximo! Isto ocorre quando , sendo um número inteiro. No intervalo , só temos máximo para cosseno, e mínimo para secante, quando .