Suponha que lim X → P ⁡ F ( X ) = L ,   c o m   L ≠ 0 . Prove que existe r > 0 tal que:

0 < |X - P| < r -> |F(X)| > |L| / 2

Passo 1

Aqui vamos usar o resultado da desigualdade triangular, que é o seguinte:

u - v ≥ v - u

Vamos para o nosso caso agora:

lim X → P ⁡ F ( X ) = L

Tomando-se ε = L 2 , existe r > 0 tal que ∀ X no domínio de F , temos:

0 < X - P < r → F X - L < L 2

Passo 2

Usando a desigualdade triangular agora:

F X - L ≥ L - F X

Daí, e da relação F X - L < L 2 , resulta:

L - F X < L 2

Juntando esses L agora:

- F X < L 2 - L

- F X <   - L 2

F X < L 2

Sendo assim, provamos que existe r > 0 tal que

0 < X - P < r → F X > L 2

Como a questão pedia😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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