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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 (exercícios de compreensão) - Ex. 1

Sejam f x = 3 x - 2 e g x = x . Em cada parte, dê a fórmula para a função e o correspondente domínio.

(a) f + g

(b) f - g

(c) f g

(d) f / g

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar as propriedades dadas lá no início do capítulo:

f + g x = f x + g x

f - g x = f x - g ( x )

f g x = f x g x

( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x )

Dessa forma, os domínios de f + g , f - g e f g serão a intersecção dos domínio de f e g . E o domínio de f / g também será a intersecção dos domínios de f e g , porém devemos excluir os valores de x onde g x = 0 , para não ocorrer uma divisão por 0 . Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = 3 x - 2

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então, x > 0 . Logo, o domínio de f é:

0 , + ∞

E:

g x = x

Temos nenhuma restrição aqui! x pode assumir qualquer valor dentro dos reais!! Assim, o domínio de g é:

- ∞ ,   + ∞

Dessa forma, a intersecção dos domínios é olhar para o domínio com mais restrições! Como g não tem restrição, a intersecção dos dois domínios vai ser o próprio domínio de f :

[ 0 , + ∞ )

Só a gente pensar: quais valores que os dois intervalos têm em comum? Bom, um pega todos os números (positivos e negativos) e o outro pega apenas os positivos, certo? Então, os números positivos aparecem nos dois intervalos, logo eles são a intersecção!

Passo 3

(a) Vamos somar as duas funções!!

f + g = 3 x - 2 + x

Não temos mais contas para fazer aqui kk essa será a nossa função mesmo. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 0 , + ∞ )

Passo 4

(b) Vamos subtrair as duas funções!!

f - g = 3 x - 2 - x

Não temos mais contas para fazer aqui, também e essa será a nossa função mesmo. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 0 , + ∞ )

Passo 5

(c) Vamos multiplicar as duas funções!!

f g = ( 3 x - 2 ) ( x )

f g = 3 x x - 2 x

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 0 , + ∞ )

Passo 6

(d) Vamos dividir as duas funções!!

f / g = 3 x - 2 x

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 0 , + ∞ )

Só que, nesse caso, também devemos excluir do domínio todos os valores de x que tornem g x = x = 0 . O único valor em que isso acontece é o próprio x = 0 , então, vamos excluí-lo do domínio:

( 0 , + ∞ )

Resposta

(a) f + g = 3 x - 2 + x ; [ 0 , + ∞ )

(b) f - g = 3 x - 2 - x ; [ 0 , + ∞ )

(c) f g = 3 x x - 2 x ; [ 0 , + ∞ )

(d) f / g = 3 x - 2 x ; ( 0 , + ∞ )

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