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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 20

Seja f (x) = 2 x^3 - 4 . Determine uma função y = g ( x ) de modo que (f @ g) (x) = x + 2

Passo 1

Em um primeiro ponto de vista, esta é uma questão que assusta. Como vamos descobrir esta função g ( x ) ? Na verdade, o procedimento é simples. Basta substituir toda g ( x ) na função f ( x ) , como uma função composta, e assim é só isolar esta g ( x ) . A visualização de toda a questão é facilitada ao fazermos a seguinte mudança:

u = g ( x )

Basta descobrirmos o valor de u tal que f (u) = x + 2 .

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) . Assim temos:

f (u) = 2 u^3 - 4

Passo 3

Como queremos f (u) = x + 2 , vamos resolver esta equação:

f (u) = 2 u^3 - 4 = x + 2

2 u^3 - 4 = x + 2

2 u^3 = x + 2 + 4

u^3 = (x + 6)/(2)

u = root(3)((x + 6)/(2))

Passo 4

Lembrando que u = g ( x ) , a função g ( x ) tal que (f @ g) (x) = x + 2 é:

g (x) = root(3)((x + 6)/(2))

Resposta

g (x) = root(3)((x + 6)/(2))

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