Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.10 - Ex. 23
23. Sejam e , . Calcular . Dê o domínio e o conjunto imagem de e .
Passo 1
Inicialmente tentarei lembrar o que é domínio e imagem, o Domínio seriam todos os elementos que é permitido a gente jogar no valor de , já a imagem são todos os elementos que podemos obter jogando esses valores de !
Para calcular , usaremos uma outra notação que ajuda a visualizar:
Passo 2
Vamos começar pelo que o problema pediu inicialmente! Acharemos , que a partir de agora usaremos sempre como .
O que quer dizer , onde tiver iremos substituir por .
Pronto já fizemos uma das partes do problema, vamos para os próximos passos!
Passo 3
Sempre que for pensar em domínio vê se há alguma restrição imposta pelo problema no enunciado ou alguma restrição imposta pela função.
Para imagem tenta pensar quais elementos seriam alcançados por essa função.
Vamos determinar esses conjuntos que fica mais fácil fazendo
Para , temos uma restrição para o domínio, DENTRO DA RAIZ NÃO PODE TER NÚMERO NEGATIVO!!
Então:
O
Já para a imagem, vamos pensar! Poderemos alcançar todos os valores reais com essa função????
Oraaa, a resposta é não, qual valor jogaríamos em e teríamos valores positivos?
Nenhum! Então para a teremos apenas valores positivos:
Já que você ficou um pouco mais safo nisso, vai fazer sem problema, vai acompanhando:
O domínio de é restringido no enunciado, lá no começo ele diz que . Então:
Já para a imagem, temos sempre que pensar um pouco! Chegaremos a todos os valores reais?
Olha, todos os valores abaixo de menores que não serão atingidos, acarretando numa imagem para todos os valores maiores que .
Então,
Olhando agora para nossa última função, temos:
O domínio já vimos! Tem uma restrição, que são os valores de dentro da raiz não serem negativos:
O domínio então é:
É a imagem como vimos para o caso de , é dado pelos valores reais positivos.