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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.Exercícios práticos - Ex. 38

Sejam f ( x ) = x e g ( x ) = 1 - x .

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f
  2. Determine o domínio de cada uma
  3. Determine a imagem de cada uma

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 1 - x = 1 - x 4 → f ∘ g ( x ) = 1 - x 4

Só que uma condição de existência: o que tá dentro da raiz de índice par nunca pode ser negativo. Então: 1 - x ≥ 0 → x ≤ 1

g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) = 1 - x → g ∘ f ( x ) = 1 - x

A restrição daqui é pra x ≠ 0 e 1 - x ≥ 0

Passo 3

(b) Domínio de f ∘ g ( x ) :

Lembra que ali em cima x ≤ 1 ? Então, o domínio é D ( f ∘ g )   = ( - ∞ , 1 ]

Domínio de g ∘ f ( x ) :

Lembra que ali em cima 1 - x ≥ 0 ? Olha só a função:

Vale 1 - x ≥ 0 onde x tá entre 0 e 1

Então, o domínio é D ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]

Passo 4

(c) Olha a cara da f ∘ g ( x ) :

A imagem dela tá de 0 “pra cima”. Então, I m ( f ∘ g ) = [ 0 , + ∞ )

E agora olha a cara da g ∘ f ( x ) (de novo):

Como ele tá definido só de 0 até 1, a imagem vai de 0 a 1.

I m ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]

Resposta

  1. f ∘ g ( x ) = 1 - x 4 , g ∘ f ( x ) = 1 - x
  2. D ( f ∘ g )   = ( - ∞ , 1 ] ,   D ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]
  3. I m ( f ∘ g ) = [ 0 , + ∞ ) , I m ( g ∘ f ) = [ 0,1 ]
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Se f (x) = x - 1 e g (x) = 1 // ( x + 1 ) , resolva:f (g (1 // 2)) g (f (1 // 2)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (2)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))
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Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -
Se f (x) = x + 5 e g (x) = x^2 - 3 , resolva:f (g (0)) g (f (0)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (- 5)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))
Sejam f x = x - 3 , g x = x , h x = x 3 e j x = 2 x . Expressa cada uma das funções como função composta envolvendo uma ou mais funções de f , g , h e j . y = x - 3 y = 2 x y = x 1 / 4 y = 4 x y = x -