Enunciado

Sejam f ( x ,   y ) e ( x 0 ,   y 0 ) como no exercício anterior. Prove que se a > 0 e b 2 - 4 a c < 0 , então

f x 0 + h ,   y 0 + k > f ( x 0 ,   y 0 )

Passo 1

Perceba que estamos com tudo da questão anterior, então vamos so da uma manipulada para chegar no resultado.

Resposta

Como

f x , y -   f x 0 , y 0 =   a h 2 + b h k +   b k 2

= a h 2 + b a h k + b a k 2

Somando zero,

=   a h 2 + b a h k + b 2 4 a 2 k 2 - b 2 4 a 2 k 2 + b a k 2

= a   h + b 2 a k 2 + 4 a c - b 2 4 a 2 k 2

Como

b 2 - 4 a c < 0 ⟹ 4 a c - b 2 > 0

Na igualdade acima temos somas de termos positivos, consequentemente, temos um termo positivo. Ou seja

a   h + b 2 a k 2 + 4 a c - b 2 4 a 2 k 2 > 0

Logo,

f x , y >   f x 0 , y 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. c) f x , y = s e n ( 3 x + 4 y ) e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. b) f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e x 0 , y 0 = ( 1,1 )
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Seja P2 (x,y) um polinômio de grau 2. Prove que lim ⁡ f x , y - P 2 x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0 Onde P 2 x , y → ( x 0 , y
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existem uma bola aberta B de centro (x0,y0), com B ∈ A , e um número M0 tais que, para todo x , y ∈ R f x , y - P 2