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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 7

Sejam f ( x ,   y ) e ( x 0 ,   y 0 ) como no exercício anterior. Prove que se a > 0 e b 2 - 4 a c < 0 , então

f x 0 + h ,   y 0 + k > f ( x 0 ,   y 0 )

Passo 1

Perceba que estamos com tudo da questão anterior, então vamos so da uma manipulada para chegar no resultado.

Resposta

Como

f x , y -   f x 0 , y 0 =   a h 2 + b h k +   b k 2

= a h 2 + b a h k + b a k 2

Somando zero,

=   a h 2 + b a h k + b 2 4 a 2 k 2 - b 2 4 a 2 k 2 + b a k 2

= a   h + b 2 a k 2 + 4 a c - b 2 4 a 2 k 2

Como

b 2 - 4 a c < 0 ⟹ 4 a c - b 2 > 0

Na igualdade acima temos somas de termos positivos, consequentemente, temos um termo positivo. Ou seja

a   h + b 2 a k 2 + 4 a c - b 2 4 a 2 k 2 > 0

Logo,

f x , y >   f x 0 , y 0

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