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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Um móvel desloca-se sobre o eixo O x com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x = x t do móvel, supondo x ¨ 0 = 2 ,   x ˙ 0 = 1 e x 0 = 0 .

Passo 1

Como a aceleração é proporcional à diferença entre a velocidade e a posição, dizemos que

x ¨ t = k x ˙ t - x t

Usando as condições iniciais encontramos a constante k

x ¨ 0 = k x ˙ 0 - x 0

k = 2

Logo

x ¨ t = 2 x ˙ t - x t

x ¨ - 2 x ˙ + 2 x = 0

Passo 2

Resolvendo a equação característica

α 2 - 2 α + 2 = 0

Δ = - 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4 - 8

Δ = - 4

E temos

α = 2 ± 2 i 2 = 1 ± i

E a solução é dada

x t = A e t cos ⁡ t + B e t sen ⁡ t

Passo 3

Aplicando a condição x 0 = 0

x 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0

A = 0

Derivando x t = B e t sen ⁡ t

x ˙ t = B e t sen ⁡ t + B e - t cos ⁡ t

E aplicando x ˙ 0 = 1

x ˙ 0 = - B sen ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = 1

B = 1

E a solução é dada por

x t = e t sen ⁡ t

Resposta

x t = e t sen ⁡ t

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Resolva a equação f ) overset(¨)(y) - 4 overset(˙)(y) + 4 y = 0
Resolva a equação f ) overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) + 2 y = 0
Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força elástica - 4 x i → . Supondox 0 = 1ex ˙ 0 = - 1 , determine a velocidade no instante t .
Resolva a equação (overset(˙)(y) = (d y)/(d t) e overset(¨)(y) = (d^2 y)/(d t^2)) j ) (d^2 y)/(d t^2) + (d y)/(d t) + 3 y = 0
Resolva a equação n ) overset(¨)(y) + 4 y = 0