Sejam contínuas em e deriváveis em , com em . Suponha ainda, que e . Prove que existe em tal que
Passo 1
Sabemos que se:
Ou seja,
Assim como,
Então,
Então vamos verificar se o mesmo vale tanto para e para .
Passo 2
Agora precisamos provar que existem para um dado .
Pelo teorema de Rolle podemos dizer que para:
contínuas em e deriváveis em , com em , existe tal que
Ótimo, agora podemos usar essas igualdade:
Logo,
Como as duas são iguais a 1, então:
Por consequência:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médiof(x) = x^3 + x^2 - x; [-2
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médiof(x) = raiz(1 - sen(x));
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médiof(x) = raiz(1 + cos(x));
Teorema do valor médiob. Quantas soluções a equação sen²(t) - 3t = 5 ² possui? Justifique sua resposta.
Teorema do valor médioa. Demonstre que g(t) = sen²t - 3t ² decresce em cada intervalo de seu domínio.