Sejam f e g contínuas em [a, b] e deriváveis em ] a, b [ , com g(x) ≠ 0 em [a, b] . Suponha ainda, que f(a) = g(a) e f(b) = g(b) . Prove que existe c em ] a, b [ tal que f´(c) g(c) = f(c) g´(c)

Passo 1

Sabemos que se:

f a = g a

Ou seja,

f a g a = 1

Assim como,

f b = g b

Então,

f b g b = 1

Então vamos verificar se o mesmo vale tanto para f c   e   g c e para f ´ c   e   g ´ c .

Passo 2

Agora precisamos provar que f c   e   g c existem para um dado c .

Pelo teorema de Rolle podemos dizer que para:

f   e   g contínuas em a , b e deriváveis em ] a , b [ , com g x ≠ 0 em a , b , existe c tal que f ´ c = 0   e   g ´ c = 0

Ótimo, agora podemos usar essas igualdade:

f ´ c g ´ c = 1

Logo,

f c g c = 1

Como as duas são iguais a 1, então:

f c g c = f ´ c g ´ c

Por consequência:

f ´ c g c = f c g ´ c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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