Suponha f contínua em [a, b] e derivável até o 2^a ordem em ] a, b [ . Sejam x₀, x₁ e x₂ ponte de [a, b] , com x0 < x1 < x2 , e tais que f(x0) = f(x1) = f(x2) = 0 . Prove que existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que f''(c) = 0 .

Passo 1

A interpretação que se tem da derivada segunda é que quando ela é igual a zero temos ali um ponto de inflexão, ou seja, um ponto onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Sendo assim, como é dado na questão, ele passa nesse intervalo pelo eixo x pelo menos 3 vezes, o que nos indica que ele tem que muda de concavidade em algum momento visto que se ele passa pelo eixo x 3 vezes ele tem pelo menos 1 ponto de máximo e um ponto de mínimo, pra que isso existe precisamos de uma mudança de concavidade.

Então se tomarmos como função f ´ x que é contínua e derivável no intervalo dado podemos dizer que existe um c tal que f ´ ´ c = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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