Suponha f contínua em a , b e derivável até o 2 ª ª ordem em ] a , b [ . Sejam x 0 , x 1ex 2 ponte de a , b , com x 0x 1x 2 , e tais que f x 0 = f x 1 = f x 2 = 0 . Prove que existe pelo menos um c em ] a , b [ tal que f ´ ´ c = 0 .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 7

Suponha contínua em e derivável até o ordem em . Sejam ponte de , com , e tais que . Prove que existe pelo menos um em tal que .

Passo 1

A interpretação que se tem da derivada segunda é que quando ela é igual a zero temos ali um ponto de inflexão, ou seja, um ponto onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Sendo assim, como é dado na questão, ele passa nesse intervalo pelo eixo pelo menos 3 vezes, o que nos indica que ele tem que muda de concavidade em algum momento visto que se ele passa pelo eixo 3 vezes ele tem pelo menos 1 ponto de máximo e um ponto de mínimo, pra que isso existe precisamos de uma mudança de concavidade.

Então se tomarmos como função que é contínua e derivável no intervalo dado podemos dizer que existe um tal que .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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