Mostre que para todo x | cos(x - (1 - (x^2 / 2))) ≤ (1 / 3!) |^3

Passo 1

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

|f (x) - P (x)| <= E (x)

E (x) = (f^(' ' ') (x))/(3 !) |x - x_0|^3

Consegue perceber as semelhanças com o que foi dado? Podemos ver que é uma aproximação do erro para a ordem 2. Vamos identificar os termos:

f (x) = cos x P (x) = x x_0 = 0

Passo 2

Portanto, para demonstrar:

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = cos x

f^' (x) = - sen x

f^(' ') (x) = - cos x

Passo 3

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = cos 0

f (0) = 1

f^' (0) = - sen 0

f^' (0) = 0

f^(' ') (0) = - cos 0

f^(' ') (0) = - 1

Passo 4

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2

f (x) = 1 + 0 (x - 0) - (1)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E (x)

E (x) = (f^(' ' ') (overset(-)(x)))/(3 !) | x - x_0 |^3

Por isso, vamos derivar f^(' ') (x) , encontrada anteriormente e substituir na fórmula. Além de arbitrar overset(-)(x) = pi

|f (x) - P (x)| <= E ( x )

f^(' ' ') (x) = sen x

|cos x - 1 - (x ²)/(2)| <= (pi)/(3 !) | x |^3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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