Mostre que para todo x |cos x - (1 - x^2 / 2)| <= 1 / 3! |x|^3

Passo 1

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

f x - P x ≤ E x

E x = f ' ' ' x 3 ! x - x 0 3

Consegue perceber as semelhanças com o que foi dado? Podemos ver que é uma aproximação do erro para a ordem 2. Vamos identificar os termos:

f x = cos ⁡ x P x = x x 0 = 0

Passo 2

Portanto, para demonstrar:

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = cos ⁡ x

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Passo 3

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 0 , além de f ( x 0 )

f 0 = cos ⁡ 0

f 0 = 1

f ' 0 = - sen ⁡ 0

f ' 0 = 0

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0

f ' ' 0 = - 1

Passo 4

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

f x = 1 + 0 x - 0 - 1 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = f x = 1 - x ² 2

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

E x = f ' ' ' x - 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula. Além de arbitrar x - = π

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = sen ⁡ x

cos ⁡ x - 1 - x ² 2 ≤ π 3 ! | x | 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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