Enunciado

Mostre que para todo x |cos x - (1 - (x^2)/(2))| <= (1)/(3 !) |x|^3

Passo 1

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

|f (x) - P (x)| <= E (x)

E (x) = (f^(' ' ') (x))/(3 !) |x - x_0|^3

Consegue perceber as semelhanças com o que foi dado? Podemos ver que é uma aproximação do erro para a ordem 2. Vamos identificar os termos:

f (x) = cos x P (x) = x x_0 = 0

Passo 2

Portanto, para demonstrar:

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = cos x

f^' (x) = - sen x

f^(' ') (x) = - cos x

Passo 3

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = cos 0

f (0) = 1

f^' (0) = - sen 0

f^' (0) = 0

f^(' ') (0) = - cos 0

f^(' ') (0) = - 1

Passo 4

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2

f (x) = 1 + 0 (x - 0) - (1)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = f (x) = 1 - (x ²)/(2)

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E (x)

E (x) = (f^(' ' ') (overset(-)(x)))/(3 !) | x - x_0 |^3

Por isso, vamos derivar f^(' ') (x) , encontrada anteriormente e substituir na fórmula. Além de arbitrar overset(-)(x) = pi

|f (x) - P (x)| <= E ( x )

f^(' ' ') (x) = sen x

|cos x - 1 - (x ²)/(2)| <= (pi)/(3 !) | x |^3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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∫ 0 1 s e nx 2d x
Seja f x = 1 + x α , onde α ≠ 0 é um real dado. Determine o polinômio de Taylor, de ordem n , de f em volta de x 0 = 0 e dê a expressão do erro em termos da derivada de ordem n + 1 .
Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g x = a r ct gx em volta de x 0 = 0 :
Seja f x = 1 1 + x 2 a)Mostre que P x = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10 de f em volta de x 0 = 0 b)c)
Verifique que x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 é o polinômio de Taylor,de ordem n+1 , de l n ⁡ ( x + 1 ) em volta de 0.