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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 38

38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =   P ' x o = 0 ,   Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o   . Generalize.

Passo 1

Lembremos que P ( x ) pode ser escrito como P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3 .

(Chamamos de desenvolvimento de Taylor do polinômio P ( x ) em potências de x - x o )

Da mesma forma, Q ( x ) = Q x o +   Q ' x o x - x o +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3 .

Passo 2

Agora, vamos resolver o limite substituindo P(x) e Q(x) pelas equações descritas no passo anterior.

lim x → xo ⁡ P x Q x = lim x → xo ⁡ P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3   Q x o +   Q ' x o x - x o +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3

Do enunciado, temos que   P ( x 0 ) =   P ' x o = 0 ,   Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 . Portanto,

lim x → xo ⁡ 0 +   0 +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3   0 +   0 +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3

Vamos simplificar colocando ( x - x o ) em evidência e ver o que acontece

lim x → xo ⁡ x - x o 2 (   P " ( x o )   2 ! + P ´ ´ ´ x o 3 ! ( x - x o ) )   x - x o 2   (   Q " ( x o )   2 ! + Q ´ ´ ´ x o 3 ! ( x - x o ) ) = lim x → xo ⁡   P " ( x o )   2 ! + P ´ ´ ´ x o 3 ! ( x - x o )       Q " ( x o )   2 ! + Q ´ ´ ´ x o 3 ! ( x - x o )

Passo 3

Substituindo x por x o , obtemos:

lim x → xo ⁡   P " ( xo )   2 ! + P ´ ´ ´ xo 3 ! x - xo     Q " ( xo )   2 ! + Q ´ ´ ´ xo 3 ! x - xo = x → xo ⁡   P " ( x o )   2 ! + P ´ ´ ´ x o 3 ! x o - x o       Q " ( x o )   2 ! + Q ´ ´ ´ x o 3 ! x o - x o =      

= ⁡   P " ( x o )   2 !       Q " ( x o )   2 ! = ⁡   P " ( x o )       Q " ( x o )

(Lembre-se de que a segunda igualdade só vale por causa da hipótese inicial de que Q " x o ≠ 0 ).

Resposta

lim x → xo ⁡ P x Q x = ⁡   P " ( x o )       Q " ( x o )

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.8 .f x = x ; a = 4 ; n = 4 .
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