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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 10

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

1 0 .   f x = ln ⁡ x + 2 ; a = - 1 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f - 1 + f ´ - 1 1 ! . x + 1 + f ´ ´ - 1 2 ! . x + 1 2 + f 3 - 1 3 !   . x + 1 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = - 1 .

Como f x = l n   ( x + 2 ) , temos que :

f 1 = l n ⁡ ( - 1 + 2 ) = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = x + 2 - 1

f ´ - 1 = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - x + 2 - 2

f ´ ´ - 1 = - 1

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = 2 x + 2 - 3

f 3 - 1 = 2

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = 0 + 1 1 ! . x + 1 + - 1 2 ! . x + 1 2 + 2 3 !   . x + 1 3

P 3 x = 1 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + 1 3 x - 1 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = - 6 x + 2 - 4

f 4 ε = - 6 ε + 2 - 4

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - 1 4 = - 6 ε + 2 - 4 4 ! . x + 1 4 ,   c o m   ε   e n t r e - 1   e   x

Resposta

P 3 x = 1 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + 1 3 x - 1 3 = - 6 ε + 2 - 4 4 ! . x + 1 4

R 3 x = - 6 ε + 2 - 4 4 ! . x + 1 4

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
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Mostre que para todo x |cos x - (1 - (x^2)/(2))| = (1)/(3 !) |x|^3
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0