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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 10

10. Sejam r   = x ,   y ,   z e r   =   | |   r | | . Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior

Calcule

∫ ∫ σ r → ⋅ n → r 3     d S  

Passo 1

Vamos usar o teorema da divergência para calcular essa questão

∫ ∫ σ F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

Entao Se

F → =   r → r 3  

Entao por Gauss teremos

∫ ∫ σ r → ⋅ n → r 3     d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     r → r 3   d V  

E como 1 / r 3 é um escalar logo

∫ ∫ ∫ V ∇   .     r → r 3   d V = 1 r 3 ∫ ∫ ∫ V ∇   .     r →   d V  

Passo 2

Sendo r   = x ,   y ,   z , então

∇   .   r = 1 + 1 + 1 = 3

Logo

1 r 3 ∫ ∫ ∫ V ∇   .     r →   d V =   1 r 3 ∫ ∫ ∫ V 3   d V  

= 3 r 3 ∫ ∫ ∫ V d V

Essa integral é o volume da esfera, Podemos então dizer que

3 r 3 ∫ ∫ ∫ V d V =   3 r 3 4 3 π r 3

= 4 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ r → ⋅ n → r 3     d S = 4 π

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