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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-g

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

g )   F → x , y , z = y i → ,       σ é a superfície   x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 1   e   z ≥ 0 ,   sendo n → a normal para cima

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z y 0 0

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , - 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

x 2 + y 2 + z 2 = 2  

x 2 + y 2 ≤ 1  

  z ≥ 0

OU seja é uma carca esférica com apenas z positivo, e raio variando entre

0 < r < 1

Dessa forma, queremos

Que é a interseção da esfera com o cilindro

Vamos calcular a normal

n → = ∇ σ ∇ σ

n → = 2 x , 2 y , 2 z 4 x 2 + y 2 + z 2 → 2 x , y , z 2 2

n → = x , y , z 2

Passo 3

Vamos unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ ∫ σ   0,0 , - 1 ⋅   x , y , z 2 d S

∫ ∫ σ   z 2 d S

Para resolver isso vamos usar a equação da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 2  

z = 2 - x 2 - y 2

Assim nossa integral fica

∫ ∫ σ   2 - x 2 - y 2 2 d S

Vamos mudar de coordenadas para calcular .Vamos usar Polar para isso. Lembrando que

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Assim nossa integral fica

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 - r ²   r d r d θ

= 2 π 2 - 1 3 2 - r 2 3 2   0 1  

= - 2 π 3 2 1 - 2 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = - 2 π 3 2 1 - 2 2

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8. Seja σ a superfície {(x, y, z) ∈ ℝ3 |x 2+y 2+z 2=R 2 , z ≥ 0} (R0) e seja um campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique a afirmação ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S =∫ γ F ⋅ d r Onde γ t = R
6. Seja F = ( P,Q,R ) de classe C 1 no aberto R 3 -{ ( 0,0 ,0 ) } . Seja σ a fronteira do conjunto K={ ( x ,y ,z )∈R 3|x ²+y ²-1≤z≤1-x ² -y ² } ² ² ² ² com normal apontando para fora de K. Mostre que
7. Seja σ a superfície x ,y ,z ∈R 3x 2+y 2=1 ,0≤z≤1 } e sejaum campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique aafirmação ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S =∫ γ 1 F → ⋅ d r + ∫ γ 2 F → ⋅ d r onde Γ1
2. Seja F um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω. Sejam σ1 e σ2 porções de superfícies regulares com fronteiras Γ1 e Γ2 orientadas positivamente com relação às normais n 1 en 2 tais que I mσ 1eI m
5. Seja F ( x ,y ,z )= ( 0,0 , x 3 ) e seja σ a superfície z = y + 4 com 1≤x 2 + y 2 ≤4 , com normal apontando para baixo. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S